Numerische Mathematik

Numerik

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numerische Mathematik,

 

Numerik, Teilgebiet der Mathematik, in dem Methoden zur zahlenmäßigen (numerischen) Berechnung von Werten mathematischer Objekte untersucht werden. Dabei spielen besonders Näherungsverfahren (Approximation) und Fehleranalysen sowie deren rechentechnische Realisierung eine große Rolle, da die meisten in der Praxis auftretenden, mathematisch durch Gleichungssysteme oder Differenzialgleichungen beschriebenen Probleme numerisch nicht exakt lösbar sind. Wichtige allgemeine Verfahren der numerischen Mathematik sind (programmierbare) Algorithmen, speziell Iterationsverfahren, die sich als sich wiederholende (einfachere) Algorithmen charakterisieren lassen (Iteration).

 

Zu den spezielleren Aufgaben der numerischen Mathematik gehört das Problem, den Wert einer Funktion f (x) an einer Stelle x₀ mithilfe der vier Grundrechenarten zu berechnen. Dies geschieht gewöhnlich mit einer Potenzreihendarstellung von f (x), z. B. mithilfe des taylorschen Satzes. - Bei der Berechnung der Werte einer Funktion f (x) für große Werte von x ist es (bei relativ kleinem Fehler) oft vorteilhaft, eine asymptotische Darstellung von f zu nutzen; so kann z. B. die Gammafunktion beziehungsweise die Fakultät n ! für große n mittels der stirlingschen Formel berechnet werden. - Ein weiteres, v. a. in der mathematischen Physik auftretendes Problem ist die Approximation einer Funktion f (x) im Intervall a ≦ x ≦ b durch ein vorgegebenes Funktionensystem {ϕ_n}. Ist das System vollständig, so lässt sich jede Funktion f im Intervall [a, b] durch die ϕ_n approximieren. Bei der Approximation einer Funktion, deren Werte nur an einzelnen Stellen x₀, x₁,..., x_n bekannt sind, durch ein Polynom n-ter Ordnung spricht man von Interpolation (Lagrange-Interpolationsverfahren, newtonsches Interpolationsverfahren).

 

Unter numerischer Integration versteht man die angenäherte zahlenmäßige Berechnung eines bestimmten Integrals mit numerischen Methoden. Sind die Werte der zu integrierenden Funktion f (x) nur für bestimmte Argumente x_i, die Stützstellen, in Form tabellierter Werte y_i = f (x_i) gegeben oder ist das Integral über f (x) formelmäßig nicht auswertbar, so wird f (x) häufig durch ein Interpolationspolynom P_n (x) ersetzt. Je nach der Form des ausgewählten Polynoms P_n (x) ergeben sich verschiedene Formeln zur numerischen Integration, z. B. die Trapezregel oder die simpsonsche Regel; zu den stochastischen Methoden gehört die Monte-Carlo-Methode. - Auch für (gewöhnliche) Differenzialgleichungen spielen Näherungsverfahren eine große Rolle. Während zur Differenzialgleichung y' = f (x, y) das Zeichnen der Isoklinen f (x, y) = const. nur zu einem qualitativen Überblick verhilft, erhält man mit dem Euler-Cauchy-Verfahren eine grobe, doch brauchbare Näherung. Exaktere Verfahren sind das Picard-Lindelöf-Verfahren und das Runge-Kutta-Verfahren. Neben diesen klassischen Methoden gibt es zahlreiche auf der Funktionalanalysis basierende Verfahren, die sich auch bei der numerischen beziehungsweise iterativen Lösung von partiellen Differenzialgleichungen sowie Integralgleichungen bewähren.

 

Literatur:

 

G. I. Marchuk: Methods of numerical mathematics (a. d. Russ., New York ²1982);

 G. Maess: Vorlesungen über n. M., 2 Bde. (Basel 1985-88);

 

N. M., bearb. v. J. Stoer u. R. Bulirsch, 2 Bde. (^3-71990-94).